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我尝试了 Newman 编写的计算物理学练习,并为自适应梯形法则编写了以下代码。当每张幻灯片的误差估计值大于允许值时,它将该部分分成两半。我只是想知道我还能做些什么来提高算法的效率。
xm=[]
def trap_adapt(f,a,b,epsilon=1.0e-8):
def step(x1,x2,f1,f2):
xm = (x1+x2)/2.0
fm = f(xm)
h1 = x2-x1
h2 = h1/2.0
I1 = (f1+f2)*h1/2.0
I2 = (f1+2*fm+f2)*h2/2.0
error = abs((I2-I1)/3.0) # leading term in the error expression
if error <= h2*delta:
points.append(xm) # add the points to the list to check if it is really using more points for more rapid-varying regions
return h2/3*(f1 + 4*fm + f2)
else:
return step(x1,xm,f1,fm)+step(xm,x2,fm,f2)
delta = epsilon/(b-a)
fa, fb = f(a), f(b)
return step(a,b,fa,fb)
此外,我用几个简单的公式将其与Romberg积分进行了比较,发现对于相同的精度,这种自适应方法使用更多的点来计算积分。
难道仅仅是因为其先天的局限性?使用这种自适应算法而不是 Romberg 方法有什么优势?有什么方法可以让它更快更准确吗?
最佳答案
您的代码正在优化以满足每个单独子区间的错误容忍度。它还使用低阶积分规则。这两方面的改进可以显着减少功能评估的数量。
不是单独考虑每个子区间的误差,更高级的代码计算所有子区间的总误差并进行优化,直到总误差低于所需阈值。根据子区间对总误差的贡献选择子区间进行细化,首先细化较大的误差。通常使用优先级队列来快速选择子区间进行细化。
高阶积分规则可以准确地整合更复杂的函数。例如,您的代码基于辛普森规则,该规则适用于次数最多为 3 的多项式。更高级的代码可能会使用适用于更高次数(例如 10-15)的多项式的规则。
从实用的角度来看,最简单的方法是使用实现上述想法的固定例程,例如 scipy.integrate.quad。除非您特别了解要集成的内容,否则您不太可能做得更好。
Romberg 积分需要在等距点进行计算。如果您可以在任何时候评估函数,那么对于“平滑”(类似多项式)函数,其他方法通常更准确。如果您的函数在所有地方都不是平滑的,那么自适应代码会做得更好,因为它可以专注于消除非平滑区域中的错误。
关于python - 如何改进这种自适应梯形法则?,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/28915957/
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