python - SymPy - 在 dsolve 中使用多个参数时出现问题

Question

我使用的是 SymPy 0.7.3 版本，在使用 dsolve 函数时遇到了一些问题。当输入方程的参数太多时，dsolve 似乎有困难。

我试过求解以下等式:

from sympy import *
p = Function('p')
t, u1, u2, u3, u4, u5 = symbols('t u1 u2 u3 u4 u5')
eq = Eq(Derivative(p(t),t), -(u3 + u4)*p(t) + exp(-t*(u1 + u2)))
eq
     Out: Derivative(p(t), t) == (-u3 - u4)*p(t) + exp(-t*(u1 + u2))
%time dsolve(eq)

得到:

CPU times: user 213.11 s, sys: 0.00 s, total: 213.11 s
Wall time: 213.12 s
       p(t) == (C1 + Piecewise((t*u1/(u1 + u2) + t*u2/(u1 + u2), u3 == u1 + u2 - u4), (-exp(t*u3)*exp(t*u4)/(u1*exp(t*u1)*exp(t*u2) + u2*exp(t*u1)*exp(t*u2) - u3*exp(t*u1)*exp(t*u2) - u4*exp(t*u1)*ex
p(t*u2)), True)))*exp(-t*(u3 + u4))

(耗时 213.12 秒!)

然后我用 u5 替换了 u1+u2:

eq = Eq(Derivative(p(t),t), -(u3 + u4)*p(t) + exp(-t*(u1 + u2))).subs(u1+u2, u5)
eq
     Out:Derivative(p(t), t) == (-u3 - u4)*p(t) + exp(-t*u5)
%time dsolve(eq)

得到:

CPU times: user 1.62 s, sys: 0.00 s, total: 1.62 s
Wall time: 1.62 s
        p(t) == (C1 + Piecewise((t, u3 == -u4 + u5), (exp(t*u3)*exp(t*u4)/(u3*exp(t*u5) + u4*exp(t*u5) - u5*exp(t*u5)), True)))*exp(-t*(u3 + u4))

(仅 1.62 秒!)

我试过使用不同的提示，但都没有用...

我还注意到，在更复杂的函数中，dsolve 会崩溃，但在替换一些常量参数时，它运行速度很快。

你知道造成这种现象的原因是什么吗？有什么办法可以自动解决这个问题吗？

Answer 1

我注意到 Mathematica 存在同样的问题，限制表达式中符号的数量非常有利。我认为这是因为大多数符号计算工具的工作原理是首先机械地应用一个通用的方法来解决问题，然后尽可能地简化结果。

在通解中，简化器可能很难恢复某些符号仅出现在给定组合中，因此可以将其视为单个符号。所以简化器不必处理更大的搜索空间。此外，它必须确保正确处理所有边界情况(u1 可能是 < 0、> 0、= 0、复杂、...？)

我发现在将问题交给符号求解器之前，尽可能多地手动进行简化是非常有利的。手动将变量分组在一起(就像在您的示例中一样)是一种有用的技术。另一种技术是计算归一化，或将一个参数设置为 1。例如，在处理多项式时 a x^2 + b x + c , 大多数时候的问题x^2 + B x + C相当于我们。 (因为我们实际上确定 a != 0 ，但忘了告诉求解器，对吧？...)但是对于求解器来说，如果符号变量的数量减少 1，就会有很大的不同。

在某些时候，这些符号求解器肯定会变得足够聪明，可以在尝试解决问题之前将变量组合在一起。不过，目前看来，还是需要人为干预。

另一方面，很难想象符号求解器会自动识别更复杂的变换来简化问题，例如从笛卡尔坐标切换到极坐标，或者对变量进行更改，例如 l=x+iy。 , r=x-iy ，这一点都不明显，但已知对某些问题有利。

更新

看来我们能为这个问题做的最好的事情就是设置a = u3 + u4和 a + b = u1 + u2 .除了将参数数量从 4 个减少到 2 个之外，特殊情况现在出现在 b == 0 时。 ，所以我们可以很容易地指示求解器忽略它:

from sympy import *
p = Function('p')
t, a = symbols('t a')
b = symbols('b', nonzero=True)
eq = Eq(Derivative(p(t),t), -a*p(t) + exp(-(a + b)*t))
dsolve(eq)
# -> p(t) == (C1 - exp(-b*t)/b)*exp(-a*t)
# (0.75 s)

因此，通过避免特殊情况来帮助求解器将求解时间再次缩短一半(我系统上的时间与您的相似)。以防特殊情况b == 0实际上是相关的，可以很容易地从 exp(-b*t) ~ 1 - b*t 的泰勒级数展开中恢复它.

一般来说，指定变量为实数、非零、严格大于零等对于避免在特殊情况下求解器挂起也非常有用。 x < 0 有时候单独解决一个问题其实更好, x > 0和 x == 0 (避免臭名昭著的 sqrt(x^2) 表达式，求解器在不知道 x 符号的情况下无法进一步简化)。