python - 测试矩阵在有限域上是否可逆

Question

我想测试特定类型的随机矩阵在有限域上是否可逆，尤其是 F_2。我可以使用以下简单代码测试矩阵是否在实数上可逆。

import random
from scipy.linalg import toeplitz
import numpy as np
n=10
column = [random.choice([0,1]) for x in xrange(n)]
row = [column[0]]+[random.choice([0,1]) for x in xrange(n-1)]
matrix = toeplitz(column, row)
if (np.linalg.matrix_rank(matrix) < n):
    print "Not invertible!"

有没有办法在 F_2 上实现同样的事情？

Answer 1

为此最好使用 Sage 或其他一些合适的工具。

以下只是简单的非专家尝试做某事，但旋转高斯消去应该给出可逆性的确切结果:

import random
from scipy.linalg import toeplitz
import numpy as np

def is_invertible_F2(a):
    """
    Determine invertibility by Gaussian elimination
    """
    a = np.array(a, dtype=np.bool_)
    n = a.shape[0]
    for i in range(n):
        pivots = np.where(a[i:,i])[0]
        if len(pivots) == 0:
            return False

        # swap pivot
        piv = i + pivots[0]
        row = a[piv,i:].copy()
        a[piv,i:] = a[i,i:]
        a[i,i:] = row

        # eliminate
        a[i+1:,i:] -= a[i+1:,i,None]*row[None,:]

    return True

n = 10
column = [random.choice([0,1]) for x in xrange(n)]
row = [column[0]]+[random.choice([0,1]) for x in xrange(n-1)]
matrix = toeplitz(column, row)

print(is_invertible_F2(matrix))
print(int(np.round(np.linalg.det(matrix))) % 2)

请注意，np.bool_ 仅在有限的意义上类似于 F_2 --- F_2 中的二元运算 + 是 - bool，一元运算 - 是 +。不过，乘法是一样的。

>>> x = np.array([0, 1], dtype=np.bool_)
>>> x[:,None] - x[None,:]
array([[False,  True],
       [ True, False]], dtype=bool)
>>> x[:,None] * x[None,:]
array([[False, False],
       [False,  True]], dtype=bool)

上面的高斯消元法只使用了这些操作，所以它有效。