python - "extended"傅立叶变换

Question

如果我有一个波形x比如

x = [math.sin(W*t + Ph) for t in range(16)]

任意W和 Ph ，然后我计算它的(实数)FFT f与

f = numpy.fft.rfft(x)

我可以得到原件x与

numpy.fft.irfft(f)

现在，如果我需要将恢复波形的范围向左和向右扩展多个样本怎么办？ IE。波形 y这样 len(y) == 48 , y[16:32] == x和 y[0:16], y[32:48]是原始波形的周期性扩展。

换句话说，如果 FFT 假设其输入是一个无限函数 f(t)在 t = 0, 1, ... N-1 上采样, 如何恢复 f(t) 的值对于 t<0和 t>=N ?

注意:我用一个完美的正弦波作为例子，但实际上x可以是任何东西:任意信号，例如 x = range(16)或 x = np.random.rand(16) ，或从随机 .wav 中提取的任意长度的片段文件。

Answer 1

Now, what if I need to extend the range of the recovered waveform a number of samples to the left and to the right? I.e. a waveform y such that len(y) == 48, y[16:32] == x and y[0:16], y[32:48] are the periodic extensions of the original waveform.

periodic 扩展名也只是 x，因为它是 periodic 扩展名。

In other words, if the FFT assumes its input is an infinite function f(t) sampled over t = 0, 1, ... N-1, how can I recover the values of f(t) for t<0 and t>=N?

“N 点 FFT 假设”您的信号是周期性的，周期为 N。这是因为您的 block 被分解成的所有谐波基函数都是周期性的，因为前 N 个和后续 N 个样本只是一个主要N个样本的副本。

如果您允许 W 的任何值，您的输入正弦曲线将不会是周期性的，周期为 N。但这不会阻止 FFT 函数将其分解为许多周期性正弦曲线的总和。并且周期为N的周期性正弦曲线之和也将具有N的周期。

显然，您必须重新考虑这个问题。

或许您可以使用线性预测。根据片段的加窗自相关和 Levinson-Durbin 递归计算几个线性预测系数，并使用这些预测系数进行推断。然而，对于一个稳定的预测滤波器，预测会收敛到零，收敛的速度取决于你有什么样的信号。例如，白噪声的完美线性预测系数全为零。在那种情况下，您将向左侧和右侧“外推”零。但是你对此无能为力。如果您有白噪声，那么您的片段中就没有关于周围样本的信息，因为所有样本都是独立的(这就是白噪声的含义)。

这种线性预测实际上能够完美地预测正弦样本。因此，如果您的输入是任意 W 和 p 的 sin(W*t+p)，您将只需要二阶线性预测。对于更复杂的信号，我建议使用 10 或 16。