python - SymPy "solves"它不应该求解的微分方程

Question

这是我做的:

from sympy import *
x = symbols("x")
y = Function("y")
dsolve(diff(y(x),x) - y(x)**x)

我得到的答案(SymPy 1.0)是:

Eq(y(x), (C1 - x*(x - 1))**(1/(-x + 1)))

但这是错误的。 Mathematica 和 Maple 都无法解决这个 ODE。这里发生了什么？

Answer 1

一个错误。 SymPy 认为它是一个 Bernoulli equation

y' = P(x) * y + Q(x) * y**n

不检查指数 n 是否恒定。所以解决方案是错误的。

我提出了一个issue在 SymPy 跟踪器上。它应该很快在 development version of SymPy 中修复随后在 1.2 版中。 (顺便说一句，1.0 有点旧，很多东西在 1.1.1 中都有改进，但不是那个。)

通过更正，SymPy 认识到没有明确的解决方案并求助于幂级数方法，产生了幂级数的一些项:

Eq(y(x), x + x**2*log(C1)/2 + x**3*(log(C1)**2 + 2/C1)/6 + x**4*(log(C1)**3 + 9*log(C1)/C1 - 3/C1**2)/24 + x**5*(log(C1)**4 + 2*(log(C1) - 1/C1)*log(C1)/C1 + 2*(2*log(C1) - 1/C1)*log(C1)/C1 + 22*log(C1)**2/C1 - 20*log(C1)/C1**2 + 20/C1**2 + 8/C1**3)/120 + C1 + O(x**6))

你不必等待补丁来获得这个幂级数，它可以通过给 SymPy 一个“提示”来获得:

dsolve(diff(y(x), x) - y(x)**x, hint='1st_power_series')

在初始条件下效果更好:

dsolve(diff(y(x), x) - y(x)**x, ics={y(0): 1}, hint='1st_power_series')

返回

Eq(y(x), 1 + x + x**3/3 - x**4/8 + 7*x**5/30 + O(x**6))