ruby - 如何将有理数格式化为小数？

Question

给定一个具有有限十进制表示的任意大(或小)有理数数，例如:

r = Rational(1, 2**15)
#=> (1/32768)

如何获取其完整的十进制值作为字符串？

上述数字的预期输出是:

"0.000030517578125"

to_f 显然不起作用:

r.to_f
#=> 3.0517578125e-05

而 sprintf 要求我指定位数:

sprintf('%.30f', r)
#=> "0.000030517578125000000000000000"

Answer 1

大多数十岁的 child 都知道怎么做:使用长除法!¹

代码

def finite_long_division(n,d)
  return nil if d.zero?
  sign = n*d >= 0 ? '' : '-'
  n, d = n.abs, d.abs
  pwr =
  case n <=> d
  when 1 then power(n,d)
  when 0 then 0
  else        -power(d,n)-1
  end            
  n *= 10**(-pwr) if pwr < 0
  d *= 10**(pwr)  if pwr >= 0
  s = ld(n,d)
  t = s.size == 1 ? '0' : s[1..-1]
  "%s%s.%s x 10^%d" % [sign, s[0], t, pwr]
end

def power(n, d)
  # n > d
  ns = n.to_s
  ds = d.to_s
  pwr = ns.size - ds.size - 1
  pwr += 1 if ns[0, ds.size].to_i >= ds.to_i
  pwr
end

def ld(n,d)
  s = ''
  loop do # .with_object('') do |s|
    m,n = n.divmod(d)
    s << m.to_s
    return s if n.zero?
    n *= 10
  end
end

例子²

finite_long_division(1, 2**15)
  #=> "3.0517578125 x 10^-5"
finite_long_division(-1, 2**15)
  #=> "-3.0517578125 x 10^-5"
finite_long_division(-1, -2**15)
  #=> "3.0517578125 x 10^-5"

finite_long_division(143, 16777216)
  #=> "8.523464202880859375 x 10^-6"
143/16777216.0
  #=> 8.52346420288086e-06 

finite_long_division(8671,
  803469022129495137770981046170581301261101496891396417650688)
  #=> "1.079195309486679194852923588206549145803161531099624\
  #      804222395643336829571798416196370119711226461255452\
  #      67714596064934085006825625896453857421875 x 10^-56"      

回想一下，每个有理数要么有十进制表示，要么包含无限重复的数字序列(例如，1/3 #=> 0.33333...、3227/555 # => 5.8144144144... 和 1/9967 #=> 0.00010033109260559848...³)。因此，如果有理数是重复序列变体，则该方法永远不会终止。由于人们通常事先不知道有理数是哪种类型，因此修改方法以首先确定有理数是否具有有限小数表示形式可能很有用。众所周知，当且仅当 d 可被 2< 整除时，无法减少(通过删除公因数)的有理数 n/d 具有此属性 或 5 并且不能被任何其他素数整除。⁴ 我们可以很容易地构造一个方法来确定一个已经减少的有理数是否具有该属性。

require 'prime'

def decimal_representation?(n, d)
  primes = Prime.prime_division(d).map(&:first)
  (primes & [2,5]).any? && (primes - [2, 5]).empty?
end

^{1 至少我小时候是这样。}

^{2 参见 here对于具有有限小数表示的有理数的部分列表}。

^{3 这个有理数的重复序列包含 9,966 位。}

^{4 Reference} .