ruby - 掷 n 个骰子后得到特定和的概率。 ruby

Question

用 n 个骰子求滚动总和概率的最佳解决方案是什么？我正在通过查找来解决它

1. 平均。
2. 标准偏差。
3. x 以下数字的 z_score>
4. x 上面数字的 z_score
5. 将两者都转换为概率
6. 从另一个中减去一个

这是我到目前为止所做的。

# sides - number of sides on one die
def get_mean(sides)
  (1..sides).inject(:+) / sides.to_f
end

def get_variance(sides)
  mean_of_squares = ((1..sides).inject {|sum, side| sum + side ** 2}) / sides.to_f
  square_mean = get_mean(sides) ** 2

  mean_of_squares - square_mean
end

def get_sigma(variance)
  variance ** 0.5
end

# x - the number of points in question
def get_z_score(x, mean, sigma)
  (x - mean) / sigma.to_f
end

# Converts z_score to probability
def z_to_probability(z)
  return 0 if z < -6.5
  return 1 if z > 6.5

  fact_k = 1
  sum = 0
  term = 1
  k = 0

  loop_stop = Math.exp(-23)
  while term.abs > loop_stop do
    term = 0.3989422804 * ((-1)**k) * (z**k) / (2*k+1) / (2**k) * (z**(k+1)) / fact_k
    sum += term
    k += 1
    fact_k *= k
  end

  sum += 0.5
  1 - sum
end

# Calculate probability of getting 'х' total points by rolling 'n' dice with 'sides' number of sides.
def probability_of_sum(x, n, sides=6)

  mean = n * get_mean(sides)
  variance = get_variance(sides)
  sigma = get_sigma(n * variance)

  # Rolling below the sum
  z1 = get_z_score(x, mean, sigma)
  prob_1 = z_to_probability(z1)

  # Rolling above the sum
  z2 = get_z_score(x+1, mean, sigma)
  prob_2 = z_to_probability(z2)

  prob_1 - prob_2
end

# Run probability for 100 dice
puts probability_of_sum(400, 100)

让我担心的是，当我选择 x = 200 时，概率为 0。这是正确的解决方案吗？

Answer 1

存在一个涉及二项式系数交替求和的精确解。我已经把它写在几个地方(在 Quora 和 MSE 上)，你可以在别处找到它，尽管有一些有缺陷的版本。请注意，如果你实现它，你可能需要取消比最终结果大得多的二项式系数，如果你使用浮点运算，你可能会失去太多的精度。

Neil Slater 关于使用动态规划计算卷积的建议是一个很好的建议。它比二项式系数的求和慢，但相当稳健。您可以通过几种方式加快速度，例如通过平方求幂，以及使用快速傅里叶变换，但很多人会发现这些方法太过分了。

要修复您的方法，您应该使用(简单的)连续性校正来对正态近似进行修正，并限制在您有足够骰子的情况下，并且您的评估距离您期望正态近似的最大值和最小值足够远好，无论是绝对的还是相对的。连续性校正是将 n 的计数替换为从 n-1/2 到 n+1/2 的区间。

总共掷出 200 的方法数的精确计数是 7745954278770349845682110174816333221135826585518841002760，所以概率是除以 6^100，大约是 1.18563 x 10^-20。

具有简单连续性校正的正态近似为 Phi((200.5-350)/sqrt(3500/12))-Phi((199.5-350)/sqrt(3500/12)) = 4.2 x 10^-19 .这在绝对值上是准确的，因为它非常接近于 0，但它偏离了 35 倍，因此相对而言并不是很好。正态近似给出了更接近中心的更好的相对近似。