c++ - 为什么 double 可以存储比 unsigned long long 更大的数字？

Question

问题是，我不太明白为什么 double 可以存储比 unsigned long long 更大的数字。由于它们都是 8 字节长，所以 64 位。

在 unsigned long long 中，所有 64 位都用于存储值，另一方面，double 有 1 表示符号，11 表示指数，52 表示尾数。即使使用 52 位(用于尾数)来存储没有浮点的十进制数，它仍然是 63 位 ...

但是 LLONG_MAX 明显小于 DBL_MAX ...

为什么？

Answer 1

原因是 unsigned long long 将存储 exact 整数，而 double 存储尾数(有限的 52 位精度)和指数。

这允许 double 存储非常大的数字(大约 10³⁰⁸)，但不精确。 double 中有大约 15 个(几乎 16 个)有效小数位，其余 308 个可能的小数位为零(实际上未定义，但您可以假设“零”以便更好地理解)。
unsigned long long 只有 19 位，但每一位都是精确定义的。

编辑:
在回复下面的评论“这到底是如何工作的”时，您有 1 位用于符号，11 位用于指数，52 位用于尾数。尾数在开头有一个隐含的“1”位，它没有被存储，所以实际上你有 53 个尾数位。 2⁵³ 是 9.007E15，所以你有 15 个，几乎 16 个十进制数字可以使用。
指数有一个符号位，范围从 -1022 到 +1023，用于缩放(二进制左移或右移)尾数(2¹⁰²³ 约为 10³⁰⁷，因此范围有限制)，因此非常小的和非常大的数字同样可能使用这种格式。
但是，当然，您可以表示的所有数字都只有与 matissa 匹配的精度。

总而言之， float 不是很直观，因为“简单”的十进制数根本不一定可以表示为 float 。这是因为尾数是二进制的。例如，可以(并且很容易)以完美的精度表示任何高达几十亿的正整数，或像 0.5、0.25 或 0.0125 这样的数字。
另一方面，也可以表示像 10²⁵⁰ 这样的数字，但只是近似的。其实你会发现10²⁵⁰和10²⁵⁰+1是同一个数(等等，什么？？？)。这是因为尽管您可以轻松拥有 250 位数字，但您没有那么多重要 数字(将“重要”读作“已知”或“已定义”)。
此外，即使 0.3 甚至不是一个“大”数字，也也只能近似地表示像 0.3 这样看似简单的东西。但是，你不能用二进制表示 0.3，而且无论你附加什么二进制指数，你都不会找到任何导致 0.3 的二进制数(但你可以非常接近)。

一些“特殊值”是为“无穷大”(正数和负数)以及“非数字”保留的，因此您的值略小于总理论范围。 p>另一方面，

unsigned long long 不会以任何方式解释位模式。您可以表示的所有数字只是位模式表示的确切数字。每个数字的每个数字都是精确定义的，不会发生缩放。