c++ sqrt保证精度，上限/下限

Question

我必须检查一个包含平方根的不等式。为了避免由于 float 不准确和舍入导致的不正确结果，我使用 std::nextafter() 来获取上限/下限:

#include <cfloat> // DBL_MAX
#include <cmath> // std::nextafter, std::sqrt

double x = 42.0; //just an example number
double y = std::nextafter(std::sqrt(x), DBL_MAX);

a) y*y >= x 是否保证使用 GCC 编译器？

b) 这是否适用于其他操作，例如 + - */ 甚至 std::cos() 和 std::acos()?

c) 有没有更好的方法来获得上限/下限？

更新:我 read C++ 标准不保证这一点，但应该根据 IEEE-754 工作。这适用于 GCC 编译器吗？

Answer 1

一般来说，浮点运算会产生一些 ULP错误。 IEEE 754 要求大多数操作的结果在 0.5 ULP 范围内是正确的，但错误可能会累积，这意味着结果可能不在精确结果的一个 ULP 范围内。精度也有限制，因此根据结果值中的位数，您也可能不会使用相同大小的值。超越函数也有点notorious用于在计算中引入误差。

但是，如果您使用的是 GNU glibc , sqrt 将在 0.5 ULP(四舍五入)内正确，因此您的具体示例将起作用(忽略 NaN、+/-0、+/-信息)。虽然，最好将一些 epsilon 定义为您的容错并将其用作您的界限。例如，

bool gt(double a, double b, double eps) {

  return (a > b - eps);
}

根据您在计算中所需的精度级别，您可能还想使用 long double。

所以，回答你的问题...

a) Is y*y >= x guaranteed using GCC compiler?

假设您使用 GNU glibc 或 SSE2 内部函数，是的。

b) Will this work for other operations like + - * / or even std::cos() and std::acos()?

假设您使用 GNU glibc 和一个操作，是的。虽然有些超越数不能保证正确四舍五入。

c) Are there better ways to get upper/lower bounds?

您需要知道计算中的误差容限是多少，并将其用作一个 epsilon(可能大于一个 ULP)。