c++ - 3点之间的角度？

Question

给定点ABC，我怎么能找到角ABC？我正在为 vector 绘图应用程序制作一个feehand工具，并尽量减少它生成的点数，除非鼠标位置的角度和最后两个点的角度大于某个阈值，否则我不会添加点。谢谢

我有什么:

int CGlEngineFunctions::GetAngleABC( POINTFLOAT a, POINTFLOAT b, POINTFLOAT c )
{
    POINTFLOAT ab;
    POINTFLOAT ac;

    ab.x = b.x - a.x;
    ab.y = b.y - a.y;

    ac.x = b.x - c.x;
    ac.y = b.y - c.y;

    float dotabac = (ab.x * ab.y + ac.x * ac.y);
    float lenab = sqrt(ab.x * ab.x + ab.y * ab.y);
    float lenac = sqrt(ac.x * ac.x + ac.y * ac.y);

    float dacos = dotabac / lenab / lenac;

    float rslt = acos(dacos);
    float rs = (rslt * 180) / 3.141592;
     RoundNumber(rs);
     return (int)rs;


}

Answer 1

关于您的方法的初步建议:

你所谓的ac其实就是cb。不过没关系，这才是真正需要的。接下来，

float dotabac = (ab.x * ab.y + ac.x * ac.y);

这是你的第一个错误。两个 vector 的实数点积是:

float dotabac = (ab.x * ac.x + ab.y * ac.y);

现在，

float rslt = acos(dacos);

这里您应该注意，由于计算过程中的一些精度损失，理论上 dacos 可能会变得大于 1(或小于 -1)。因此 - 你应该明确地检查这一点。

加上性能说明:您调用了两次重的 sqrt 函数来计算两个 vector 的长度。然后将点积除以这些长度。相反，您可以在两个 vector 的长度平方相乘上调用 sqrt。

最后，您应该注意，您的结果精确到 sign。也就是说，您的方法不会区分 20° 和 -20°，因为两者的余弦相同。您的方法将为 ABC 和 CBA 产生相同的角度。

计算角度的一种正确方法是“oslvbo”建议:

float angba = atan2(ab.y, ab.x);
float angbc = atan2(cb.y, cb.x);
float rslt = angba - angbc;
float rs = (rslt * 180) / 3.141592;

(我刚刚将 atan 替换为 atan2)。

这是最简单的方法，总能得出正确的结果。这种方法的缺点是你实际上调用了一个重三角函数 atan2 两次。

我建议以下方法。它有点复杂(需要一些三角函数才能理解)，但是从性能的角度来看它是优越的。它只调用一次三角函数atan2。并且没有平方根计算。

int CGlEngineFunctions::GetAngleABC( POINTFLOAT a, POINTFLOAT b, POINTFLOAT c )
{
    POINTFLOAT ab = { b.x - a.x, b.y - a.y };
    POINTFLOAT cb = { b.x - c.x, b.y - c.y };

    // dot product  
    float dot = (ab.x * cb.x + ab.y * cb.y);

    // length square of both vectors
    float abSqr = ab.x * ab.x + ab.y * ab.y;
    float cbSqr = cb.x * cb.x + cb.y * cb.y;

    // square of cosine of the needed angle    
    float cosSqr = dot * dot / abSqr / cbSqr;

    // this is a known trigonometric equality:
    // cos(alpha * 2) = [ cos(alpha) ]^2 * 2 - 1
    float cos2 = 2 * cosSqr - 1;

    // Here's the only invocation of the heavy function.
    // It's a good idea to check explicitly if cos2 is within [-1 .. 1] range

    const float pi = 3.141592f;

    float alpha2 =
        (cos2 <= -1) ? pi :
        (cos2 >= 1) ? 0 :
        acosf(cos2);

    float rslt = alpha2 / 2;

    float rs = rslt * 180. / pi;


    // Now revolve the ambiguities.
    // 1. If dot product of two vectors is negative - the angle is definitely
    // above 90 degrees. Still we have no information regarding the sign of the angle.

    // NOTE: This ambiguity is the consequence of our method: calculating the cosine
    // of the double angle. This allows us to get rid of calling sqrt.

    if (dot < 0)
        rs = 180 - rs;

    // 2. Determine the sign. For this we'll use the Determinant of two vectors.

    float det = (ab.x * cb.y - ab.y * cb.y);
    if (det < 0)
        rs = -rs;

    return (int) floor(rs + 0.5);


}

编辑:

最近我一直在研究一个相关的主题。然后我意识到有更好的方法。它实际上或多或少是相同的(在幕后)。然而，恕我直言，它更简单。

这个想法是旋转两个 vector ，使第一个 vector 与(正)X 方向对齐。显然旋转两个 vector 不会影响它们之间的角度。 OTOH 在这样的旋转之后，只需找出第二个 vector 相对于 X 轴的角度。这正是 atan2 的用途。

旋转是通过将 vector 乘以以下矩阵来实现的:

• a.x, a.y
• -a.y, a.x

曾经可以看到 vector a乘以这样一个矩阵确实是向X轴正方向旋转。

注意:严格来说，上面的矩阵不仅仅是旋转，它也是缩放。但这在我们的例子中是可以的，因为唯一重要的是 vector 方向，而不是它的长度。

旋转 vector b变成:

• a.x * b.x + a.y * b.y = a 点 b
• -a.y * b.x + a.x * b.y = a 交叉 b

最后，答案可以表示为:

int CGlEngineFunctions::GetAngleABC( POINTFLOAT a, POINTFLOAT b, POINTFLOAT c )
{
    POINTFLOAT ab = { b.x - a.x, b.y - a.y };
    POINTFLOAT cb = { b.x - c.x, b.y - c.y };

    float dot = (ab.x * cb.x + ab.y * cb.y); // dot product
    float cross = (ab.x * cb.y - ab.y * cb.x); // cross product

    float alpha = atan2(cross, dot);

    return (int) floor(alpha * 180. / pi + 0.5);
}