c++ - 单位半球表面上快速均匀分布的随机点

Question

我正在尝试为蒙特卡洛光线追踪程序在单位球体的表面上生成均匀的随机点。当我说均匀时，我的意思是这些点相对于表面积是均匀分布的。我目前的方法是计算指向正 z 轴和 x-y 平面基点的半球上的均匀随机点。

半球上的随机点表示漫反射灰发射器的热辐射发射方向。

当我使用以下计算时，我得到了正确的结果:

注意:dsfmt* 将返回一个介于 0 和 1 之间的随机数。

azimuthal = 2*PI*dsfmt_genrand_close_open(&dsfmtt);
zenith = asin(sqrt(dsfmt_genrand_close_open(&dsfmtt)));

// Calculate the cartesian point
osRay.c._x = sin(zenith)*cos(azimuthal); 
osRay.c._y = sin(zenith)*sin(azimuthal);
osRay.c._z = cos(zenith);

但是，这非常慢，并且分析表明它占用了很大一部分运行时间。因此，我寻找了一些替代方法:

Marsaglia 1972 拒绝方法

do {
   x1 = 2.0*dsfmt_genrand_open_open(&dsfmtt)-1.0;
   x2 = 2.0*dsfmt_genrand_open_open(&dsfmtt)-1.0;
   S = x1*x1 + x2*x2;
} while(S > 1.0f);


osRay.c._x = 2.0*x1*sqrt(1.0-S);
osRay.c._y = 2.0*x2*sqrt(1.0-S);
osRay.c._z = abs(1.0-2.0*S);

解析笛卡尔坐标计算

azimuthal = 2*PI*dsfmt_genrand_close_open(&dsfmtt);
u = 2*dsfmt_genrand_close_open(&dsfmtt) -1;
w = sqrt(1-u*u);

osRay.c._x = w*cos(azimuthal);
osRay.c._y = w*sin(azimuthal);
osRay.c._z = abs(u);

虽然最后两种方法的运行速度比第一种快，但当我使用它们时，我得到的结果表明它们没有在球体表面生成均匀的随机点，而是给出了有利于赤道的分布。

此外，最后两种方法给出了相同的最终结果，但我确信它们是不正确的，因为我正在与分析解决方案进行比较。

我发现的每个引用资料都表明这些方法确实产生了均匀分布，但是我没有得到正确的结果。

我的实现是否有错误，或者我错过了第二种和第三种方法的基本思想？

Answer 1

在单位球体(无论其维度是多少)上生成均匀分布的最简单方法是绘制独立的正态分布并对结果 vector 进行归一化。

确实，例如在维度3中，e^(-x^2/2) e^(-y^2/2) e^(-z^2/2) = e^(-(x^2 + y^2 + z^2)/2) 所以 union 分布不随旋转变化。

如果您使用快速正态分布生成器(Ziggurat 或 Ratio-Of-Uniforms)和快速归一化例程(谷歌表示“快速平方根平方根”)，这会很快。不需要调用超越函数。

此外，Marsaglia 在半球上并不均匀。由于半球体上 2D 圆盘 <-> 点上的对应点不是等距的，因此在赤道附近会有更多点。最后一个似乎是正确的(但是我没有进行计算以确保这一点)。