python - 如何从矩阵中找到线性独立的行

Question

如何识别矩阵中的线性独立行？例如，

第4行是独立的。

Answer 1

首先，您的第 3 行与第 1t 行和第 2 行线性相关。但是，您的第 1 列和第 4 列是线性相关的。

你可以使用的两种方法:

特征值

如果矩阵的一个特征值为零，则其对应的特征向量是线性相关的。文档 eig状态返回的特征值根据它们的多重性重复，不一定是有序的。但是，假设特征值对应于您的行向量，一种方法是:

import numpy as np

matrix = np.array(
    [
        [0, 1 ,0 ,0],
        [0, 0, 1, 0],
        [0, 1, 1, 0],
        [1, 0, 0, 1]
    ])

lambdas, V =  np.linalg.eig(matrix.T)
# The linearly dependent row vectors 
print matrix[lambdas == 0,:]

柯西-施瓦茨不等式

要测试向量的线性相关性并找出哪些向量，您可以使用 Cauchy-Schwarz inequality .基本上，如果向量的内积等于向量范数的乘积，则向量是线性相关的。以下是列的示例:

import numpy as np

matrix = np.array(
    [
        [0, 1 ,0 ,0],
        [0, 0, 1, 0],
        [0, 1, 1, 0],
        [1, 0, 0, 1]
    ])

print np.linalg.det(matrix)

for i in range(matrix.shape[0]):
    for j in range(matrix.shape[0]):
        if i != j:
            inner_product = np.inner(
                matrix[:,i],
                matrix[:,j]
            )
            norm_i = np.linalg.norm(matrix[:,i])
            norm_j = np.linalg.norm(matrix[:,j])

            print 'I: ', matrix[:,i]
            print 'J: ', matrix[:,j]
            print 'Prod: ', inner_product
            print 'Norm i: ', norm_i
            print 'Norm j: ', norm_j
            if np.abs(inner_product - norm_j * norm_i) < 1E-5:
                print 'Dependent'
            else:
                print 'Independent'

测试行是一种类似的方法。

然后你可以扩展它来测试所有的向量组合，但我想这个解决方案会随着大小而严重缩放。