python - 为什么 pow(a, d, n) 比 a**d % n 快这么多？

Question

我试图实现 Miller-Rabin primality test ，并且对为什么中型数字(约 7 位数)需要这么长时间(> 20 秒)感到困惑。我最终发现以下代码行是问题的根源:

x = a**d % n

(其中 a、d 和 n 都相似，但不相等，中等数字，** 是取幂运算符，% 是取模运算符)

然后我尝试将其替换为以下内容:

x = pow(a, d, n)

相比之下，它几乎是瞬时的。

关于上下文，这里是原始函数:

from random import randint

def primalityTest(n, k):
    if n < 2:
        return False
    if n % 2 == 0:
        return False
    s = 0
    d = n - 1
    while d % 2 == 0:
        s += 1
        d >>= 1
    for i in range(k):
        rand = randint(2, n - 2)
        x = rand**d % n         # offending line
        if x == 1 or x == n - 1:
            continue
        for r in range(s):
            toReturn = True
            x = pow(x, 2, n)
            if x == 1:
                return False
            if x == n - 1:
                toReturn = False
                break
        if toReturn:
            return False
    return True

print(primalityTest(2700643,1))

定时计算示例:

from timeit import timeit

a = 2505626
d = 1520321
n = 2700643

def testA():
    print(a**d % n)

def testB():
    print(pow(a, d, n))

print("time: %(time)fs" % {"time":timeit("testA()", setup="from __main__ import testA", number=1)})
print("time: %(time)fs" % {"time":timeit("testB()", setup="from __main__ import testB", number=1)})

输出(使用 PyPy 1.9.0 运行):

2642565
time: 23.785543s
2642565
time: 0.000030s

输出(使用 Python 3.3.0 运行，2.7.2 返回的时间非常相似):

2642565
time: 14.426975s
2642565
time: 0.000021s

还有一个相关的问题，为什么使用 Python 2 或 3 运行此计算几乎是使用 PyPy 的两倍，而通常 PyPy 为 much faster ?

Answer 1

参见维基百科文章 modular exponentiation .基本上，当您执行 a**d % n 时，您实际上必须计算 a**d，这可能非常大。但是有一些方法可以计算 a**d % n 而不必计算 a**d 本身，这就是 pow 所做的。 ** 运算符不能这样做，因为它无法“预见 future ”以知道您将立即取模。