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题目链接 。
题目描述 。
因为上次在月月面前丢人了,所以华华决定开始学信息学。十分钟后,他就开始学树状数组了。这是一道树状数组的入门题:
给定一个长度为 \(N\) 的序列 \(A\) ,所有元素初值为 \(0\) 。接下来有 \(M\) 次操作或询问: 操作:输入格式:1 D K,将 \(A_D\) 加上 \(K\) 。 询问:输入格式:2 L R,询问区间和,即 \(\sum_{i=L}^{R}A_i\) .
华华很快就学会了树状数组并通过了这道题。月月也很喜欢树状数组,于是给华华出了一道进阶题: 给定一个长度为 \(N\) 的序列 \(A\) ,所有元素初值为 \(0\) 。接下来有 \(M\) 次操作或询问: 操作:输入格式:1 D K,对于所有满足 \(1\le i\le N\) 且 $i\equiv0 \pmod D $ 的 \(i\) ,将 \(A_i\) 加上 \(K\) 。 询问:输入格式:2 L R,询问区间和,即 \(\sum_{i=L}^{R}A_i\) 。 华华是个newbie,怎么可能会这样的题?不过你应该会吧.
输入描述 。
第一行两个正整数 \(N\) 、 \(M\) 表示序列的长度和操作询问的总次数。 接下来M行每行三个正整数,表示一个操作或询问.
输出描述 。
对于每个询问,输出一个非负整数表示答案.
示例1 。
输入 。
10 6
1 1 1
2 4 6
1 3 2
2 5 7
1 6 10
2 1 10
输出 。
3
5
26
备注 。
\(1\le N,M\le10^5\) , \(1\le D\le N\) , \(1\le L\le R\le N\) , \(1\le K \le 10^8\) 。
知识点:树状数组,根号分治.
显然,这道题的修改并不能转化为可懒标记的区间修改,也没有很好的方法转化为单点修改.
我们可以考虑暴力优化的一种,根号分治。将修改操作的 \(D\) 分为两部分,按阈值 \(B\) 划分:
修改总体复杂度为 \(O\left( \dfrac{n}{B} \log n \right)\) .
同时,查询操作也要随之改变:
查询总体复杂度为 \(O(B + \log n)\) .
我们尝试平衡查询和修改的复杂度。假设 \(B\) 能使 \(\log n\) 被忽略,则需要满足 $ \dfrac{n}{B} \log n = B$ ,解得 \(B = \sqrt{n \log n}\) 。因此, \(B = \sqrt{n \log n}\) 是我们所需要的阈值,其能使总体复杂度为 \(O(\sqrt{n \log n})\) .
实际上,这道题用理论最优阈值时间不是最优的,用 \(B = \sqrt n\) 快将近一倍,可能由于数据的 \(D\) 普遍较小,使得查询代价上升较明显.
这里采用 \(B = \sqrt n\) 阈值.
时间复杂度 \(O(m\sqrt{n} \log n)\) 。
空间复杂度 \(O(n)\) 。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
template<class T>
class Fenwick {
int n;
vector<T> node;
public:
Fenwick(int _n = 0) { init(_n); }
void init(int _n) {
n = _n;
node.assign(n + 1, T::e());
}
void update(int x, T val) { for (int i = x;i <= n;i += i & -i) node[i] += val; }
T query(int x) {
T ans = T::e();
for (int i = x;i >= 1;i -= i & -i) ans += node[i];
return ans;
}
T query(int l, int r) { return query(r) - query(l - 1); }
};
struct T {
ll sum;
static T e() { return { 0 }; }
T &operator+=(const T &x) { return sum += x.sum, *this; }
friend T operator-(const T &a, const T &b) { return { a.sum - b.sum }; }
};
ll add[100007];
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int n, m;
cin >> n >> m;
Fenwick<T> fw(n);
for (int i = 1;i <= m;i++) {
int op;
cin >> op;
if (op == 1) {
int d, k;
cin >> d >> k;
if (d * d <= n) add[d] += k;
else for (int i = d;i <= n;i += d) fw.update(i, { k });
}
else {
int l, r;
cin >> l >> r;
ll ans = fw.query(l, r).sum;
for (int i = 1;i * i <= n;i++) ans += add[i] * (r / i - (l - 1) / i);
cout << ans << '\n';
}
}
return 0;
}
最后此篇关于NC23054华华开始学信息学的文章就讲到这里了,如果你想了解更多关于NC23054华华开始学信息学的内容请搜索CFSDN的文章或继续浏览相关文章,希望大家以后支持我的博客! 。
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我是一名优秀的程序员,十分优秀!