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对于 \(n\) 个在 \([0,1]\) 内均匀分布的实数随机变量,它们的和不超过一个实数 \(z\) 的概率为:
证明:
首先明确一个概念: 概率密度 .
对于一个随机变量 \(X\) , 在 \([0,1]\) 上 定义概率密度 \(\rho(x)\) ,使得对于任意 \(t\in[0,1]\) ,有 \(\int_{x=0}^t \rho(x)\mathrm{d}x=P(X\le t)\) 成立。 如果令 \(f(t)=P(X\le t)\) ,那么就有 \(\rho(t)=f'(t)\) .
那么对于 \(n\) 个随机变量 \(X_1,X_2,\dots,X_n\) ,它们的和 \(\le z\) 的概率即为:
可以将概率密度理解为线段 \([0,1]\) 上密密地撒有很多很多带权的小点,如果一个随机变量 \(X_i\) 取到了点 \(x_i\) ,那么它就会产生 \(\rho_i(x_i)\) 的权重。多个变量的权重即为每个变量单独的权重之积。仔细理解一下这样的定义是很合理的.
在 Irwin-Hall 分布里,所有随机变量是 均匀随机 的,所以 \(P(X\le t)=t\) ,于是求导即可得 \(\rho(t)=1\) .
为了方便计算,我们将函数 \(\rho(x)\) 进行 扩域 。准确来说,原本的 \(\rho(x)\) 是定义在 \([0,1]\) 上的,这也可以视为当 \(x\notin [0,1]\) 时 \(\rho(x)=0\) ;为了方便 \((1)\) 式的计算,我们令 \(\rho(x)=\rho'(x)-\rho''(x)\) (这里不是求导),其中 \(\rho'(x)\) 和 \(\rho''(x)\) 的函数表达式和 \(\rho(x)\) 完全相同,只是 \(\rho'(x)\) 改为定义在 \([0,+\infty)\) 上, \(\rho''(x)\) 改为定义在 \([1,+\infty)\) 上。这样 \((1)\) 式的求和下标中上界就可以省去,有利于进一步的推导.
现在继续对 \((1)\) 式的推导.
式子中的 \(k\) 即枚举钦定了几个变量是大于 \(1\) 的,然后进行容斥.
对于 Irwin-Hall 分布来说, \(\prod\limits_{i=1}^k \rho''_i(x_i+1) \prod\limits_{i=k+1}^n \rho'_i(x_i)\) 恒为 \(1\) ,于是 \((2)\) 式即为:(注意下标中 \(x_i\) 之和 \(\le z-k\) 而非 \(z\) ) 。
考虑积分里面的式子。我们将 \(\sum x_i\le z-k\) 视为在 \(z-k\) 内选出 \(n\) 个数 \(t_1\le t_2\le \dots \le t_n\) ,然后计算 \(\rho_1(t_1)\times\rho_2(t_2-t_1)\times\dots\times\rho_n(t_n-t_{n-1})=1\) 。然后发现 \(t_1\le t_2\le \dots \le t_n\) 很烦,又发现贡献系数和 \(t_i\) 的具体值毫无关系,于是可以直接变成 \(t_i\) 在 \([0,z-k]\) 内任选,然后乘上一个 \(\frac{1}{n!}\) 的系数。于是 \((3)\) 式即为:
\(\mathrm{Q.E.D.}\) 。
最后此篇关于Irwin-Hall分布学习笔记的文章就讲到这里了,如果你想了解更多关于Irwin-Hall分布学习笔记的内容请搜索CFSDN的文章或继续浏览相关文章,希望大家以后支持我的博客! 。
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