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作者:京东物流 崔旭 。
我们都知道,数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题,即如何让代码运行得更快,如何让代码更省存储空间。所以,执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢?这里就要用到我们今天要讲的内容:时间、空间复杂度分析.
你可能会有些疑惑,我把代码跑一遍,通过统计、监控,就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢?这种分析方法能比实实在在跑一遍得到的数据更准确吗?
首先可以肯定地说,这种评估算法执行效率的方法是正确的。很多数据结构和算法书籍还给这种方法起了一个名字,叫事后统计法。但是,这种统计方法有非常大的局限性.
测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。比如,我们拿同样一段代码,分别用 Intel Core i9 处理器和 Intel Core i3 处理器来运行,i9 处理器要比 i3 处理器执行的速度快很多。还有,比如原本在这台机器上 a 代码执行的速度比 b 代码要快,等我们换到另一台机器上时,可能会有截然相反的结果.
对同一个排序算法,待排序数据的有序度不一样,排序的执行时间就会有很大的差别。极端情况下,如果数据已经是有序的,那排序算法不需要做任何操作,执行时间就会非常短。除此之外,如果测试数据规模太小,测试结果可能无法真实地反应算法的性能。比如,对于小规模的数据排序,插入排序可能反倒会比快速排序要快! 。
所以,我们需要一个不用具体的测试数据来测试,就可以粗略地估计算法的执行效率的方法,这就是我们接下来要说的大O复杂度表示法.
算法的执行效率,粗略地讲,就是算法代码执行的时间。但是,如何在不运行代码的情况下,用“肉眼”得到一段代码的执行时间呢?
这里有段非常简单的代码,求 1,2,3…n 的累加和。现在,一块来估算一下这段代码的执行时间吧.
从 CPU 的角度来看,这段代码的每一行都执行着类似的操作:读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样,但是,我们这里只是粗略估计,所以可以假设每行代码执行的时间都一样,为 unit_time。在这个假设的基础之上,这段代码的总执行时间是多少呢?
第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间,第 4、5 行都运行了 n 遍,所以需要 2n_unit_time 的执行时间,所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)_unit_time。可以看出来,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比.
按照这个分析思路,我们再来看这段代码.
我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢?
第 2、3、4 行代码,每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间,第 5、6 行代码循环执行了 n 遍,需要 2n_unit_time 的执行时间,第 7、8 行代码循环执行了 n²遍,所以需要 2n²_unit_time 的执行时间。所以,整段代码总的执行时间 T(n) = (2n²+2n+3)*unit_time.
尽管我们不知道 unit_time 的具体值,但是通过这两段代码执行时间的推导过程,我们可以得到一个非常重要的规律,那就是,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。我们可以把这个规律总结成一个公式。注意,大 O 就要登场了! 。
我来具体解释一下这个公式。其中,T(n) 我们已经讲过了,它表示代码执行的时间;n 表示数据规模的大小;f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式,所以用 f(n) 来表示。公式中的 O,表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比.
所以,第一个例子中的 T(n) = O(2n+2),第二个例子中的 T(n) = (2n²+2n+3)。这就是大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫作渐进时间复杂度,简称时间复杂度.
当 n 很大时,你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了,如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度,就可以记为:T(n) = O(n); T(n) = O(n²).
前面介绍了大 O 时间复杂度的由来和表示方法。现在我们来看下,如何分析一段代码的时间复杂度?
大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数,只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以,我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候,也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级,就是整段要分析代码的时间复杂度.
为了便于你理解,我还拿前面的例子来说明.
其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间,与 n 的大小无关,所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码,所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过,这两行代码被执行了 n 次,所以总的时间复杂度就是 O(n).
这里还有一段代码.
这个代码分为三部分,分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度,然后把它们放到一块儿,再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度.
第一段的时间复杂度是多少呢?这段代码循环执行了 100 次,所以是一个常量的执行时间,跟 n 的规模无关.
即便这段代码循环 10000 次、100000 次,只要是一个已知的数,跟 n 无关,照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候,就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响,但是回到时间复杂度的概念来说,它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势,所以不管常量的执行时间多大,我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响.
那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢?答案是 O(n) 和 O(n²)。 综合这三段代码的时间复杂度,我们取其中最大的量级。所以,整段代码的时间复杂度就为 O(n²)。也就是说:总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是:
如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))). 。
刚讲了一个复杂度分析中的加法法则,这儿还有一个乘法法则。类比一下,你应该能“猜到”公式是什么样子的吧?
如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)_T2(n)=O(f(n))_O(g(n))=O(f(n)*g(n)). 。
也就是说,假设 T1(n) = O(n),T2(n) = O(n²),则 T1(n) * T2(n) = O(n³)。落实到具体的代码上,我们可以把乘法法则看成是嵌套循环,我举个例子给你解释一下.
我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作,那第 4~6 行的时间复杂度就是,T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作,它的时间复杂度是 T2(n) = O(n),所以,整个 cal() 函数的时间复杂度就是,T(n) = T1(n)_T2(n) = O(n_n) = O(n²).
虽然代码千差万别,但是常见的复杂度量级并不多。稍微总结了一下,这些复杂度量级几乎涵盖了大部分的场景.
对于刚罗列的复杂度量级,我们可以粗略地分为两类,多项式量级和非多项式量级。其中,非多项式量级只有两个:O(2ⁿ) 和 O(n!).
当数据规模 n 越来越大时,非多项式量级算法的执行时间会急剧增加,求解问题的执行时间会无限增长。所以,非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度.
1.O(1) 。
首先你必须明确一个概念,O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。比如这段代码,即便有 3 行,它的时间复杂度也是 O(1),而不是 O(3).
只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长,这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说,一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是Ο(1).
2.O(logn)、O(nlogn) 。
对数阶时间复杂度非常常见,同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下.
根据我们前面讲的复杂度分析方法,第三行代码是循环执行次数最多的。所以,我们只要能计算出这行代码被执行了多少次,就能知道整段代码的时间复杂度。 从代码中可以看出,变量 i 的值从 1 开始取,每循环一次就乘以 2。当大于 n 时,循环结束.
实际上,变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来,就应该是这个样子的:
所以,我们只要知道 x 值是多少,就知道这行代码执行的次数了。通过 2ˣ=n 求解 x ,x=log₂n,所以,这段代码的时间复杂度就是 O(log₂n).
现在,我把代码稍微改下,你再看看,这段代码的时间复杂度是多少?
根据我刚刚讲的思路,很简单就能看出来,这段代码的时间复杂度为 O(log₃n).
实际上,不管是以 2 为底、以 3 为底,还是以 10 为底,我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢?
我们知道,对数之间是可以互相转换的,log₃n 就等于 log₃2_log₂n,所以 O(log₃n) = O(C_log₂n),其中 C=log₃2 是一个常量。基于我们前面的一个理论:在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以,O(log₂n) 就等于 O(log₃n)。因此,在对数阶时间复杂度的表示方法里,我们忽略对数的“底”,统一表示为 O(logn).
如果你理解了O(logn),那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗?如果一段代码的时间复杂度是 O(logn),我们循环执行 n 遍,时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且,O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如,归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn).
3.O(m+n)、O(m*n) 。
我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度,代码的复杂度由两个数据的规模来决定。老规矩,先看代码! 。
从代码中可以看出,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n).
针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)_T2(n) = O(f(m)_f(n)).
前面,咱们花了很长时间讲大 O 表示法和时间复杂度分析,理解了前面讲的内容,空间复杂度分析方法学起来就非常简单了.
时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下,空间复杂度全称就是渐进空间复杂度,表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系.
还是拿具体的例子来说明.
跟时间复杂度分析一样,我们可以看到,第 2 行代码中,我们申请了一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组,除此之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。 我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n²),像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多.
复杂度也叫渐进复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度,用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系,可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n²).
最后此篇关于复杂度分析:如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗的文章就讲到这里了,如果你想了解更多关于复杂度分析:如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗的内容请搜索CFSDN的文章或继续浏览相关文章,希望大家以后支持我的博客! 。
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