贝叶斯与卡尔曼滤波(1)--三大概率

贝叶斯滤波主要是通过概率统计的方法，主要是贝叶斯公式，对随机信号进行处理，减小不确定度 。

贝叶斯滤波处理的随机变量主要是一个随机过程。 \(x_1, x_2, x_3 ...\) ,互不独立 。

与之对应的就是一个确定过程，比如：自由落体 \(v = g*t\) ，就是一个确定的过程 。

我们之前所学的大部分都是一些要求相对独立的数学，比如大数定律，中心极限定理，数理统计三大分布都需要独立同分布.

随机过程的难度相比于确定过程要高很多，最大的不同在于随机过程无法做随机试验了.

那么问题来了，随机试验是干什么的？随机试验最大的作用是为了给概率赋值的，比如抛硬币。为啥那么抛硬币正反的概率都是0.5呢？这就涉及到两种学说，主观概率学说以及大数定律学说（随机试验为基础）.

随机试验的条件:

• 在相同条件下，实验可以重复进行 （这其实就是随机实验之间的独立性）
• 一次实验，结果不确定，所有可能的结果已知
• 实验之前，实验结果预先未知

在抛硬币这个实验中，实验可以多次重复进行，由大数定律，设 \(n\) 为试验次数， \(\mu\) 为正面朝上的次数 。

那么根据大数定律，在 \(n\) 次独立的实验中，对于任意正数 \(\varepsilon\) ，有 。

当 \(n \to \infty\) 时， \(\frac{\mu}{n}\) 依概率收敛于 \(P_1\) . 。

经过大量的实验测试，这个概率在0.5上下波动，因此就定义为0.5 。

那么问题来了，对于一个随机过程来说， \(x_1, x_2, x_3 ...\) 互不独立，那么如何给这个概率赋值呢?

举个例子，股票。相对股票做随机试验，那么必须会时光倒流，这显示是不可能的。除了股票，像分子的扩散，气温的变化都是无法做随机试验的。一般来说与时间有关的东西，都是无法做随机试验的.

随机过程， \(x_1, x_2, x_3 ...\) 不独立，那么可以有以下推断 。

这就体现了不独立性。那么有了这个信息，我们是否可以研究随机过程呢？答案也是不可以的，因为你只找到了他们的关系，但是必须要给随机过程的起点 \(P(x_1)\) 赋予初值，初值的选取是很重要的.

但是上面说过由于不独立性，我们无法通过大数定律赋予 \(P(x_1)\) 初值.

实际上，有的初值是可以做随机试验的额，比如随机游走 \(x_k = x_{k-1} +D\) ,$D $为位移 。

初值 \(P(x_0 = 0) = 1\) .

但是更多情况下，初值是不可以做随机试验的，只能使用主观概率，也就是猜一个概率出来.

以上面的例子来看，抛硬币正面朝上的概率0.5这个事情来看，两种说法，主观概率与大数定律学说都存在不严谨的地方。主观概率就不说了，肯定是不严谨了，但是大数定律看似严谨，实际上独立性这个属性是无法保证，同时也是无法证明这个独立性的。一般来说判断独立性都是通过经验的，因此大数定律也是存在一定的主观性的。有人会说，证明独立性只需要说明 \(P(A)=P(B)\) 就可以了，但是要证明这个等式，必须要对两个概率赋值，而要对概率赋值，必须使用大数定律，这就成了一个鸡生蛋还是蛋生鸡的问题。因此在无法做随机试验的情况下，使用主观概率也是比较科学的做法 。

这就是概率论的两大学派，支持主观概率的也叫贝叶斯学派，支持大数定律的也叫频率学派，目前以频率学派占主导地位.

回到主观概率上，随机过程 \(x_1, x_2, x_3 ...\) 互不独立，那么 \(P(x_1)\) 该如何给呢？对于一些比较简单的随机过程，比如抛硬币，我们可以给一个0.5，但是对于一些比较复杂的过程，比如股票，每个人看法不一， 导致主观概率的选取不通用，那么不同的主观概率会导致不同的结果，这显示不是我们想要的。气温的变化，分子的扩散，本质上还是一个客观的过程，我们希望尽可能削弱主观的差异，那么应该怎么做呢，我们主要说贝叶斯滤波的方法.

我们需要引入外部观测，比如对于股票来说，每个人对涨跌的看法都是不一样，但是如果加上一个外部观测，比如得到消息，某公司老板卷钱跑路了，那么几乎所有人都会下调对该股票的收益预期.

引入外部观测，可以尽可能地减弱主观概率的影响 。

主观概率也叫做先验概率，主观概率和先验概率是存在一定区别的，但是我们可以把两者当作是一个东西，目前涉及的知识面，可以忽略两者的区别.

先验概率通过贝叶斯公式转化为后验概率.

先说一下符号 。

\(X, Y\) ,大写为随机变量， \(x, y\) ，小写为随机变量的取值，代表随机试验的一个可能的结果 。

离散变量： \(P(X=x) = P_x\) , 例如:

连续变量:

条件概率:

• 离散

• 连续

下面以一个温度例子来学习贝叶斯滤波 。

首先，给出先验概率分布：此处以一个离散变量表示，如果是连续变量，那么需要给出概率密度函数.

其次，给出温度计的测量温度 \(T_m\) (m：measure,测量的意思)。问题来了，既然有了温度计的值了，还要贝叶斯干什么，还整这么复杂干什么？问题在于，任何传感器都是有误差的。温度计测量到的温度，不一定是准确的。假设$T_m = 10.3 $ 。

最后，使用贝叶斯公式，求得后验概率分布 。

其中:

• \(P(T=10|T_m=10.3)\) 就是后验概率
• \(P(T_m=10.3)\) 就是先验概率
• \(P(T_m=10.3|T=10)\) 就是似然概率

似然概率 ：代表观测的准确度 。

\(P(T_m=10.3|T=10)\) 当真实温度为10的时候，温度计测的温度为10.3的概率，代表传感器的精度.

问题来了，先验概率分布需要给出所有可能的分布，概率和必须为1。那么似然概率需不需要写成一个概率分布，概率和为1呢？答案是不需要的。 \(P(T_m=10.3|T=10)\) 与 \(P(T_m=10.3|T=11)\) 是对两个不同的真实值下的测量概率，可以说是两个随机试验，他们两个的概率没有任何关系。似然概率是用来衡量传感器的不确定性的，不确定性不受测量的真实值的影响的。比如传感器的精度是±1，那么测量一个冰水与沸水，传感器的误差都是±1，它是传感器本身的性质.

后验概率的概率和为1.

那么还有一个概率， \(P(T_m=10.3)\) 是什么呢?

很多教材里面，直接说 \(P(T_m=10.3)\) 与T无关，所以 \(P(T=10|T_m=10.3) = \eta P(T_m=10.3|T=10)P(T=10)\) 。

那么，为什么 \(P(T_m=10.3)\) 与T无关呢？很多人都会有一个困惑， \(T_m = 10.3\) 是一个已经发生的事件，所以 \(P(T_m=10.3)=1\) 。这就是搞混了随机变量的取值与随机变量的概率，这两者是完全不同的概念。比如抛硬币，一次随机试验中发生了正面朝上，那么正面朝上的概率依然是0.5，本次结果为正面朝上并不影响正面朝上的概率。 \(T_m=10.3\) 只是一次随机试验的结果而已，不能只看到一次结果，就把这个事件发生的概率定为1。随机试验的结果不影响分布律.

根据全概率公式:

可以看到， \(P(T_m=10.3)\) 与T有关的，那为什么很多教材上说 \(P(T_m=10.3)\) 与T无关呢？ 因为 ** \(P(T_m=10.3)\) ** 与T的取值无关，与T的分布律是有关的.

在上面的公式中可以看到， \(P(T_m=10.3|T=10)\) 是似然概率， \(P(T=10)\) 是先验概率。而似然概率是传感器本身的性质，因此在某种长度上，也可以说** \(P(T_m=10.3)\) **与T的取值无关.

继续进行计算:

可以近似于:

那么 \(\eta\) 怎么计算呢？其实很简单，因为所有的后验概率相加为1，所以 。

为什么叫似然概率呢?

似然：likelihood，可能性。源于最大似然估计。他表示那个原因最有可能导致了结果.

比如A班有99男1女，B班有1男99女。那么随机数抽取一个班，再随机抽一个人进行观测，结果是女，那么最有可能是从B班抽出来的.

状态为因，观测为果。 后验概率为由果推因，似然概率是由因推果 .

如果两个随机变量存在一定的函数关系，他们是不是一定不独立? 答：不一定.

等价命题：如果两个随机变量相互独立，他们是不是一定没有函数关系？ 答：不一定.

独立未必没有函数关系，虽然听起来匪夷所思，但这是事实.

举个例子，一个必然事件， \(Y = X+1\) ， \(P(X=1)=1\) , \(P(Y=2)=1\) , \(P(X=1, Y=2)=1\) ,两者有函数关系，但是他们是独立的.

这个例子看起来没有太多说服力，那么说一个非必然事件的例子 。

设有一个正态概率分布 \(N(\mu, \sigma^2)\) ， \((\mu, \sigma)\) 未知，从此分布中，抽取 \(n\) 个独立的样本， \(X_1, X_2,X_3,...,X_n\) 独立同分布，则下面两个随机变量相互独立.

均值和方差相互独立只有再正态分布中才有。显然，他们两个是存在函数关系的.

关于样本均值与样本方差的独立性证明，可以参考这个 视频 。

最后此篇关于贝叶斯与卡尔曼滤波(1)--三大概率的文章就讲到这里了,如果你想了解更多关于贝叶斯与卡尔曼滤波(1)--三大概率的内容请搜索CFSDN的文章或继续浏览相关文章，希望大家以后支持我的博客！ 。